\subsection{角的分类}\label{subsec:czjh1-1-8}

根据角的大小，我们可以将角分成不同的类。

如图 \ref{fig:czjh1-1-34}，射线 $OB$ 是平角 $\angle AOC$ 的平分线。
即 $\angle AOB = \angle BOC = \exdfrac{1}{2} \angle AOC$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch1-34}
        \caption{}\label{fig:czjh1-1-34}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{9cm}
        \begin{minipage}[b]{4cm}
            \centering
            \input{../pic/czjh1-ch1-35-a}
            \caption*{甲}
        \end{minipage}
        \qquad
        \begin{minipage}[b]{4cm}
            \centering
            \input{../pic/czjh1-ch1-35-b}
            \caption*{乙}
        \end{minipage}
        \caption{}\label{fig:czjh1-1-35}
    \end{minipage}
\end{figure}

当一个角等于平角的一半时，这个角叫做\zhongdian{直角}。
图 \ref{fig:czjh1-1-34} 中的 $\angle AOB$ 、$\angle BOC$ 都是直角。
直角可以用 $Rt \angle$ 表示。记作 $\angle AOB = Rt \angle$ 或 $Rt \angle AOB$。
图中角顶处的符号 “\tikz \draw(0,0)--(1.5ex,0) -- (1.5ex,-1.5ex);” 表示这个角是直角。

因为直角是平角的一半，所以
{\bfseries
\begin{align*}
    & \bm{1 \text{周角} = 4 \text{直角；}} \\
    & \bm{1 \text{平角} = 2 \text{直角；}} \\
    & \bm{1 \text{直角} = 90^\circ \juhao}
\end{align*}}

因为每个直角都是 $90^\circ$， 所以所有的直角都相等。
小于直角的角叫做\zhongdian{锐角}，大于直角而小于平角的角叫做\zhongdian{钝角}。
如图 \ref{fig:czjh1-1-35} 甲中， $\angle AOB < Rt \angle$，所以 $\angle AOB$ 是锐角，
图 \ref{fig:czjh1-1-35} 乙中，$180^\circ > \angle CQD > Rt \angle$，所以 $\angle CQD$ 是钝角。

两个角的和等于直角时，说这两个角\zhongdian{互为余角}，简称\zhongdian{互余}，也可以说其中一个角是另一个角的\zhongdian{余角}。
两个角的和等于平角时，说这两个角\zhongdian{互为补角}，简称\zhongdian{互补}，也可以说其中一个角是另一个角的\zhongdian{补角}。
将一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，这时说，它和原来的角\zhongdian{互为邻补角}。
如图 \ref{fig:czjh1-1-36} 甲，$\angle 1$ 与 $\angle 2$ 互余，记作 $\angle 1 + \angle 2 = 90^\circ$ 或 $\angle 1 = 90^\circ - \angle 2$；
如图 \ref{fig:czjh1-1-36} 乙，$\angle 3$ 与 $\angle 4$ 互补，记作 $\angle 3 + \angle 4 = 180^\circ$ 或 $\angle 3 = 180^\circ - \angle 4$；
如图 \ref{fig:czjh1-1-36} 丙，$AB$、$CD$ 是两条直线，$\angle 1$ 和 $\angle 2$， $\angle 2$ 和 $\angle 3$ 都互为邻补角。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch1-36-a}
        \caption*{甲}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch1-36-b}
        \caption*{乙}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch1-36-c}
        \caption*{丙}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:czjh1-1-36}
\end{figure}

\liti 已知 $\angle \alpha = 32^\circ 18' 30''$，求 $\angle \alpha$ 的余角与补角的大小。

\jie $\angle \alpha \text{的余角} = 90^\circ - 32^\circ 18' 30'' = 57^\circ 41' 30''$。

$\angle \alpha \text{的补角} = 180^\circ - 32^\circ 18' 30'' = 147^\circ 41' 30''$。


\liti 已知 $\angle \alpha = \angle \beta$， $\angle \alpha$ 的补角是 $\angle \beta$ 的余角的 3 倍。求 $\angle \alpha$ 的大小。

\jie $\angle \alpha$ 的补角为 $180^\circ - \angle \alpha$， $\angle \beta$ 的余角为 $90^\circ - \angle \beta$，根据题意得
\begin{gather*}
    180^\circ - \angle \alpha = 3(90^\circ - \angle \beta) \juhao  \tag{1}
\end{gather*}

已知
\shangyihang \begin{gather*}
    \angle \beta = \angle \alpha \douhao  \tag{2}
\end{gather*}

将 (2) 式代入 (1) 式，得
\begin{gather*}
    180^\circ - \angle \alpha = 3(90^\circ - \angle \alpha) \juhao  \tag{3}
\end{gather*}

解方程得
$$ \angle \alpha = 45^\circ \juhao $$

上面的推理过程中，由 (1) 式变到 (3) 式是将 (1) 式中的 $\angle \beta$
用与它相等的量 $\angle \alpha$ 来代替，这种等式变形叫做\zhongdian{等量代换}。

图 \ref{fig:czjh1-1-37} 中， $\angle 2$ 与 $\angle 3$ 都是 $\angle 1$ 的余角，下面我们来比较这两个角的大小。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch1-37}
    \caption{}\label{fig:czjh1-1-37}
\end{figure}

根据两角互余的定义，有
$$ \angle 1 + \angle 2 = 90^\circ \douhao \quad \angle 1 + \angle 3 = 90^\circ \douhao $$

利用等量代换，得
$$ \angle 1 + \angle 2 = \angle 1 + \angle 3 \juhao $$

根据等式的性质，上式中两边同减去 $\angle 1$，得
$$ \angle 2 = \angle 3 \juhao $$

这样，我们得到了余角的一个性质：

\begin{xingzhi}
    同角（或等角）的余角相等。
\end{xingzhi}

同样可以得到

\begin{xingzhi}
    同角（或等角）的补角相等。
\end{xingzhi}

\begin{lianxi}

\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xxt[\xxtsep]{把两块三角板象图甲那样拼在一起，那么三点 $A$、$O$、$B$ 在一条直线上。为什么？}

    \xxt{将 $Rt \angle AOB$ 的一边 $OA$ 反向廷长（图乙）， 这时 $\angle BOC$ 是什么角？为什么？}

\end{xiaoxiaotis}


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch1-subsec8-lx-1-a}
        \caption*{甲}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch1-subsec8-lx-1-b}
        \caption*{乙}
    \end{minipage}
    \caption*{（第 1 题）}
\end{figure}


\xiaoti{已知 $\angle \alpha = 62^\circ 17' 15''$ ，求 $\angle \alpha$ 的余角和补角的度数，并指出它们是锐角还是钝角。}

\xiaoti{如图，$\angle EOC= \angle AOC = \angle BOD = Rt \angle$。
    在图中找出分别与 $\angle AOB$、$\angle BOC$ 互余的角。
    有与 $\angle BOC$ 互补的角吗？图中有邻朴角吗？
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch1-subsec8-lx-3}
        \caption*{（第 3 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch1-subsec8-lx-5}
        \caption*{（第 5 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{互补的两个角能不能都是锐角、钝角、直角？ 互余的两个角呢？}

\xiaoti{如图，$OA$ 是表示北偏东 $30^\circ$ 方向的一条射线。仿照这条射线画出表示下列方向的射线：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{北偏东 $50^\circ$；}

    \xxt{北偏西 $60^\circ$；}

    \xxt{南偏西 $10^\circ$；}

    \xxt{南偏东 $25^\circ$；}

    \xxt{东北方向（即北偏东 $45^\circ$）；}

    \xxt{西南方向（即南偏西 $45^\circ$）。}

\end{xiaoxiaotis}

\end{lianxi}

